Kateqoriya Arxivləri: Cebr

Sabit əmsallı xətti diferensial tənliklər sistemi.


Tərif 8.1. Normal diferensial tənliklər sistemində f1,f2,…, fn funksiyaları məchul funksiyalara nəzərən xətt olarsa, belə sistemə xətti sistem deyilir.
Bu tərəfdən alırıq ki, xətti sistem aşağıdakı şəkildədir:

dy1 = a11y1 + a12 y2 + …+ a1n yn+b1,
dx
dy2 = a21y1 + a22 y2 + …+ a2n yn+b2, (8.1)
dx
………………………………………………. ,
dyn = an1y1 + an2 y2 + …+ ann yn+bn,
dx

burada, aik əmsallarının və bk (i,k, = 1,2,…,n) “sərbəst hədlərinin” hamısı, ümumi halda, x-dan asılı olan məlum funksiyalardır. Sistemdəki məchul funksiyalar y1, y2,…yn ilə işarə edilmişdir.
Vektor – matris işarələrindən istifadə etsək, (8.1) sistemini sadə və qısa şəkildə yaza bilərik.

dy
y1(x)

Y (x) = y2(x)

………..

yn(x)

işarə etək. Bu vektorun törəməsi olaraq yeni

y/1

dy = y/2
dx ……
y/n

vektorunu qəbul edək. Onda

a11 a12 … a1n
b1
A = a21 a22 … a2n b2
……………….. B =

an1 an2 … ann , bn

matrislərindən istifadə etməklə (8.1) sistemini vektorların bərabərliyi kimi yaza bilərik:

dY
= AY +B
dx
Bu bərabərlik xətti diferensial tənliklər sisteminin vektor – matris şəklində yazılışı adlanır.
Biz sabit əmsallı xətti bircins diferensial tənliklər sisteminin həllini araşdıracağıq. Fərz edək ki, (8.1) sistemində aik = const (i,k, = 1,2, …, n) ; bΞ0 (i = 1,2, … , n).
Onda, aşağıdakı sistemi həll edəcəyik:

dy1 = a11y1 + a12 y2 + …+ a1n yn,
dx
dy2 = a21y1 + a22 y2 + …+ a2n yn, (8.2)
dx
……………………………………………,
dyn = an1y1 + an2 y2 + …+ ann yn,
dx

Əvvəlki mövzularda qeyd etdiyimiz kimi, (8.2) sistemini bir dənə bircins n tərtibli diferensial tənliyə gətirmək olar.Lakin (8.2) sistemini başqa üsulla da həll etmək mümkündür.
Sadəlik üçün sabit əmsallı üçtərtibli xətti bircins diferensial tənliklər sisteminə baxaq:

dy1 = a11y1 + a12 y2 + …+ a13 y3,
dx
dy2 = a21y1 + a22 y2 + …+ a23 y3, (8.3)
dx
dy3 = a31y1 + a32 y2 + …+ a33 y3,
dx

Bu sistemin xüsusi həllini
y1 = k1erx, y2 = k3erx, y3 = k3erx (8.4)
şəklində axtaraq, burada k1, k2, k3, r – sabit ədədlərdir.
Axtarılan funksiyaların (8.4) şəklində ifadəsini (8.3) sistemində yazaq:

rk1 erx = a11 k1erx = a12 k2erx = a13 k3erx

rk2 erx = a21 k1erx = a22 k2erx = a23 k3erx

rk3erx = a31 k1erx = a32 k2erx = a33 k3erx

Burada bütün şərtləri erx-ə ixtisar etsək və toplananları sağ tərəfə keçirsək,

( a11 –r) k1 + a12 k2 + a13 k3 = 0

a21 k1 +( a22-r) k2 + a23 k3 = 0 (8.5)

a31 k1 + a32 k2 +( a33-r) k3 =0

sistemini alırıq. Bu sistemə üçməchullu xətti bircins cəbri tənliklər sistemi kimi baxmaq olar.Sistemin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün onun determinantı sıfıra bərabər olmalıdır, yəni

a11 –r a12 a13

a21 a22 –r a23 = 0

a31 a32 a33 -r

(8.6) tənliyinə (8.3)sisteminin xarakteristik tənliyi deyilir . Bu tənlik üç dərəcəli tənlikdir. Sistemin (8.4) şəklində həllinin olması üçün r ədədinin (8.6) xarakteristik tənliyinin həlli olması zəruri və kafi şərtdir.Burada müxtəlif halların həlli

a11 –r a12 a13

a21 a22 –r a23 = 0 (8.7)

a31 a32 a33 -r

xarakteristik matrisinin xassələrini öyrənməyə tələb edir.
Fərz edək ki, (8.6) tənliyinin kökləri müxtəlifdir və bu kökləri müxtəlifdir və bu kökləri (8.7) matrisində yazdıqda sıfırdan fərqli heç olmazsa bir dənə ikitərtibli determinant alınır. Bu halda (8.6) tənliyinin hər bir r1 ,r2 ,r3 kökünə (8.3) sisteminin (8.4) şəklində xüsusi həlli uyğun olur. (8.4) – dəki k1, k2, k3 əmsalları isə (8.5) sistemində r-in yerinə r1 ,r2 ,r3 yazdıqda alınan xətti sistemin sabit vuruq dəqiqliyi ilə müəyən olunan həlli kimi tapılır.(8.3) sisteminin tapılmış xüsusi həllərinin ixtiyari sabit əmsallarla ifadə olunan xətti kombinasiyası həmin sistemin ümumi həlli olacaqdır.
(8.6) tənliyinin xarakteristik kökləri α±βi şəklində kompleks ədədlər olduqda (8.3) sisteminin bu köklərə uyğun xüsusi həlləri eax cos βx, eax sin βx funksiyaları ilə ifadə olunur ( yüksək tərtibli xətti bircins diferensial tənlikdə olduğu kimi Eyler düsturlarından istifadə edirik).

Normal sistemin inteqrallanma üsulları


Fərz edək ki, normal diferensial tənliklər sistemi verilmişdir :

dx1 = f1(t,x1,x2,…,xn),
dt
dx2 = f2(t,x1,x2,…xn) , (7.1)
dt
……………………………. ,
dx1 = fn(t,x1,x2,…,xn)
dt

və bu sistemdəki fi funksiyalarının hamısı arqumentlərinin hər birinə nəzərən(n-1) – ci tərtibə qədər kəsilməz törəməyə malikdir. Sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini t-yə nəzərən diferensiallayaq :

d2x1 ∂f1 n ∂fi dxi

dt
= + ∑
∂t i=1 ∂xi dt

yaxud

d2x1 ∂f1 n ∂fi

dt2
= + ∑ . fi
∂t i=1 ∂xi

Bu bərabərliyin sağ tərəfini F2 (t, x1, x2, … , xn) ilə əvəz edək:

d2x1

dt
= F2 (t, x1, x2, … , xn) (7.2)

Sonuncu tənliyin hər iki tərəfini yenə də t-yə görə diferensiallayıb sağ tərəfdəki

dxi -lərinin yerində (7.1) sistemindəki üyğun ifadələri yazmaqla
dt
d3 x1 = f3(t,x1,x2,…,xn) (7.3)
dt3

şəklində tənlik alınır. Prosesi davam etməklə aşağıdakı sistemi alırıq:

dx1 = f1(t,x1,x2,…,xn),
dt
d2 x1 = F2(t,x1,x2,…xn) ,
dt
……………………………. , (7.4)
dn-1 x1 = Fn-1(t,x1,x2,…,xn)
dtn-1
dn x1 = Fn(t,x1,x2,…,xn)
dtn

Fərz edək ki,dəyişənlərin D dəyişmə oblastında

∂f1 ∂f1 … ∂f1
∂x2 ∂x3 ∂xn

∂F2 ∂F2 … ∂F1
∂x2 ∂x3 ∂xn
≠ 0 (7.5)
………………………
∂Fn-1 ∂Fn-1 … ∂ F n-1
∂x2 ∂x3 ∂xn

Onda (7.4) sisteminin ilk (n-1) tənliyini x2,x3,…,xn – lərə nəzərən həll etmək olar:

xi = φi (t, x1, dx1 , d2 x1 , …., dn-1 x1 ), i = 2,n. (7.6)
dt dt dtn-1

(7.4) sisteminin sonuncu tənliyində x2,x3,…,xn – in (7.6) – dakı ifadəsini yazsaq, n – tərtibli diferensial tənlik alırıq:
dtn x1 = φ (t, x1, dx1 , d2 x1 , …., dn-1 x1 ) (7.7)
dtn dt dt dtn-1

(7.6) diferensial tənliyini həll edib x1(t)-i, sonra isə (7.6)-dan istifadə etməklə x2,x3,…,xn məchul funksiyaların tapa bilərik.
Qeyd. Əgər (7.5) şərti ödənolmirsə, onda x1-in yerinə x2-ni seçib prosesi təkrar etmək lazımdır. Əgər (7.5) şərti heç vaxt ödənilmirsə, onda müxtəlif müstəsna hallar ola bilər. Bu məqsədlə aşağıdakı misallara baxaq.
Misal 7.1.

dx1 = f1(t,x1),
dt
dx2 = f2(t,x2) ,
dt
dx3 = f3(t,x3)
dt

Bu sistemin tənlikləri biri-birindən asılı deyil. Ona görə də hər bir tənlik ayrıca inteqrallanmalıdır.

Misal 7.2.

dx1 = f1(t,x1),
dt

dx2 = f2(t,x2) , ∂f2
dt ≠ 0
∂x3
dx3 = f3(t,x3)
dt

Bu sistemin birinci tənliyindəki məchul x1 funksiyası digər tənliklərdə iştirak etmir, ona görə də birinci tənlik ayrıca inteqrallanmalıdır, iki sonuncu tənlik isə yuxarıdakı üsul ilə bir dənə ikitərtibli diferensial tənliyə gətirilə bilər.
Yuxarıdakı üsul məchulu yoxetmə üsulu adlanır.
Diferensial tənliklər sisteminin həll üsullarından biri də inteqrallanan kombinasiya- lar üsuludur.Bu üsul vasitəsilə (7.1) sistemindən alınan tənlik asnlıqla inteqrallanır və verilən sistemin birinci inteqralı tapılır. (7.1) sisteminin asılı olmayan n sayda birinci inteqralı tapılıbsa, onda onların hamısı birlikdə bu sistemin ümumi inteqralı olur.
Misal 7.3.

dx = y,
dt
dy = x
dt
diferensial tənliklər sisteminin ümumi inteqralını tapın .
Həlli; Verilən tənlikləri tərəf-tərəfə yazsaq, bir dənə inteqrallanan kombinasiya tapa bilərik:

d(x+y) d(x+y)
= x + y, və ya = dt , buradan ln|x+y|=t+lnc1, x+y = c1et
dt x + y
alınır.
Verilən sistemin birinci tənliyindən ikinci tənliyi tərəf – tərəfə çıxaraq ikinci inteqral- lanan kombinasiyanı tapa bilərik:
d(x-y) d(x-y)
= -x – y, və ya = – dt , buradan isə ln|x-y|=-t-lnc2, x-y = c2et
dt x- y
alınar.
Beləliklə, iki tənlik aldıq:
x + y = c1e1 və x-y = c2e-1.
Bu iki tənlikdən verilən sitemin həllini tapmaq olar:
1 1 _ _ _ _
x = (c1et + c2e-t), y = (c1et + c2e-t), və yaxud x = c1et + c2e-t , y = c1et + c2e-t
2 2
(7.1) sistemindən inteqrallanan kombinasiyalarını tapmaq üçün həmin sistemi simmetrik forma adlanan

dx1 dx2 dxn dx
= = … =
f1(t,x1,x2,…,xn), f2(t,x1,x2,…,xn), fn(t,x1,x2,…,xn) 1
u1
şəklində yazırlar və kəsrlərin bərabərliyindən istifadə edərək, göstərmək olar ki, əgər v1
u2 un
= = . . . = = y olarsa, onda ixtiyari a1, a2, . . . , an üçün
v2 vn

a1u1+a2u2+…+anun
= y (7.8)
a1v1+ a2v2+ …+ anvn
münasibəti doğrudur.Burada a1, a2,…,an ədələri seçilir ki, (7.8) kəsirinin surəti məxrəcin tam diferensialı olur, ya da məxrəc sıfıra bərabər olur.
Göründüyü kimi simmetrik formada sərbəst dəyişən və axtarılan funksiyalar “eyni hüquqlu” olurlar.
Misal 7.4
mz – lx nx – my
y/ = , z/ =
ly – nz ly – nz

diferensial tənliklər sisteminin ümumi həllini tapın.
Həlli: Verilən sistemi simmetrik formada yazaq :

dx dy dz
= = =y
ly – nz mz-lx nx – my

və (7.8) münasibətindən istifsdə edək. a1=m, a2=n və a3 = l götürək, onda

d (mx + ny + lz)
= y ,
0
yəni d (mx + ny + lz)=0 alırıq, buradan :
mx + ny + lz=c1 ( 7.9)

Analoji qaydada a1 = 2x, a2=2y və a3=2z götürməklə d (x2 +y2 +z2) =0, burada da

x2 +y2 +z2 = c22 (7.10)
tapırıq. (7.9) və (7.10) münasibətləri verilmiş sistemin iki dənə birinci inteqralını ifadə edir, bu iki münasibət birlikdə verilmiş sistemin qeyri – aşkar şəkildə ümumi həllidir.

Yüksək tərtibli diferensial tənliklər ilə əlaqə


Koşi teoremi. Fərz edək ki, (5.2) normal sisteminin sağ tərəfindəki f1,f2,…,fn funksiyaları x, y1, y2, …, yn dəyişənlərinin müəyyən etdiyi (n+1) ölçülü qapalı D oblastında təyin olunub.Əgər fk (k=1,2,…,n) funksiyalar M0(x0, y10, y20, …, yn (0)) Є D nöqtəsinin müəyyən ∆ ətrafında kəsilməzdirsə və y1, y2, …, yn dəyişənlərinə nəzərən kəsilməz
∂fk xüsusi törəmələrinə malikdirsə, onda x arqumentinin elə x0 – h <x<x0+h dəyişmə inter-
∂fj
valı var ki, bu intervalda (5.2) sisteminin (5.6) başlanğıc şərtini ödəyən həlli var və yeganədir.
Fərz edək ki,D oblastının hər bir nöqtəsində Koşi teoreminin şərtləri ödənilir.
Verilmiş x0, y10, y20, …, yn0 başlanğıc qiymətlərindən x0 ədədini sabit saxlayaraq y10, y20, …, yn0 ədədlərini müəyyən oblastda dəyişdirdikdə (M0(x0, y10, y20, …, yn (0)) Є D şərti daxilində ) hər bir y1, y2, …, yn0 ədələr sisteminə (5.2) sistemini bir
yk= φk(x0, y10, y20, …, yn0) (k=1,2,…,n)
həlli uyğun olur. Burada y10, y20, …, yn0 ədələrini uyğun olaraq c1,c2,…,cn ilə əvəz etsək, (5.2) sisteminin n dənə ixtiyari sabitdən asılı olan
y1= φ1(x, c1, c2, …, cn)
y2= φ2(x, c1, c2, …, cn)
……………………………… (6.1)
yn= φn(x, c1, c2, …, cn)

həlli alinir, buna (5.2) sisteminin ümumi həlli deyilir.Daha dəqiq desək,(5.2) sisteminin, ixtiyari c1, c2, …, cn sabitlərindən asılı olan (6.1) həllinə o zaman sistemin ümumi həlli deyilir ki, həmin həlldən c1, c2, …, cn sabitlərinə müəyyən c10, c20, …, cn0 qiymətlərini verməklə istənilən (5.6) başlanğıc şərtini ödəyən(M0(x0, y10, y20, …, yn (0)) Є D şərti daxilində) həlli almaq mümkün olsun.
Tərif: sistemin ümumi həllindən c1, c2, …, cn qiymətlərini verməklə alına həllə həmin sitemin xüsusi həlli deyilir.
Başqa sözlə, (5.2) sisteminin hər bir xüsusi həlli ümumi həllə daxildir və xüsusi həllin hər bir nöqtəsində Koşi məsələsinin yeganə həlli var.
(5.2) sisteminin (6.1)ümumi həlli məlum olduqda (5.6) başlanğıc şərtlərini ödəyən həlli tapmaq üçün
yk= φk(x0, c10, c20, …, cn0) = yk0 (k=1,2,…,n)
sistemindən c1, c2, …, cn sabitlərini tapıb (6.1) münasibətində yerinə yazmaq lazımdır.
Tərif: (5.2)sisteminin, hər bir nöqtəsində Koşi məsələsinin həllinin yeganəliyi pozulan həllinə məxsusi həll deyilir.
Misal 5.3.

y/ = x + 2 y- √z,
x
z/ = 2√z

sistemini həll etmək üçün əvvəlcə ikinci tənliyi inteqrallayıb z = (x+c1)2, x>-c1 yaza bilərik. z-in bu ifadəsini birinci tənlikdə yerinə yazsaq: y/ = x + 2 y- c1. Bu xətti tənliyin
x
inteqrallamaqla y = c1x + c2x2 tapa bilərik.Buradan sistemin ümumi həllini aşağıdakı kimi tapmaq olar:

y = c1x + c2x2,
x>-c1 (6.2)
z = (x+c1)2,

Sisteminin ikinci tənliyi z=0 məxsusi həllinə malikdir. Bunu sistemin birinci tənliyində yazdıqda
y/ = x + 2 y/x, buradan alırıq:
y = x2 (c + ln|x|) (6.3)
Beləliklə, verilmiş sistemin (6.2) ümumi həllindən başqa həm də
y = x2 (c + ln|x|), z = 0 (6.4)
məxsusi həlləri vardır. (6.4) həllinin hər bir nöqtəsində Koşi məsələsinin həllinin yeganəliyi pozulur.
(5.2) sisteminin inteqralı elə ψ (x,y1,y2,…yn) funksiyasına deyilir ki, bu funksiyanın özü və ∂ψ , ∂ψ , … , ∂ψ , xüsusi törəmələri arqumentlərinin hər hansı D dəyişmə oblastında
∂χ ∂y1 ∂yn
təyin olunub, kəsilməzdir, bu funksiyanın arqumentlərinin yerində (5.2) sisteminin ixtiyari həllini yazdıqda funksiya hər bir x Є (a,b) üçün sabit qiymət alır.
ψ (x,y1,y2,…yn) = c
bərabərliyi (5.2) sisteminin birinci inteqralı adlanır, ψ (x,y1,y2,…yn) normal sistemin inteqralı, c isə ixtiyari sabitdir.
Qeyd edək ki, adi diferensial tənliklər sistemi ümumi halda sərbəst x dəyişəni, k sayda y1(x), y2(x), …, yk(x) funksiyaları və onların törəmələri arasında əlaqəni ifadə edən k sayda tənliklərdən ibarət olur, əgər həmin sistem məchul funksiyaların yüksək tərtibli y1(p1) (x), y2(p2) (x),…, yk(pk) (x) törəmələrinə nəzərən həll edilibsə, yəni

y1(p1) (x) = f1 (x,y1, … , y1(p1-1),…, yk,…, yk(pk-1) ),
y2(p2) (x) = f2 (x,y1, … , y1(p1-1),…, yk, …, yk(pk-1)), (6.4)
………………………………………………………………
yk(pk) (x) = fk (x,y1,…, y1(p1-1), … , yk , … yk(pk – 1))

şəklindədirsə, onda belə sistemə kanonik sistem deyirlər, n = p1 + p2 + … + pk ədədi isə kanonik sistemin tərtibi adlanır. Aydındır ki, (5.2) normal sistemi (6.4) sisteminin xüsusi halıdır: p1 = p2 = … pk = 1.
y(n) = f (x, y ,y/,…y(n-1))
şəklində olan n – tərtibli diferensial tənliyi (5.2) normal sisteminə gətirmək olur. Tərsinə, (5.2) və ya (6.4) sistemi əksər hallarda n tərtibli diferensial tənliyə gətirilir, sonuncu tənliyi həll etməklə, həm də verilən tənliyin həllini tapmaq olur.

Adi diferensial tənliklər sistemi. Əsas anlayışlar.


Tutaq ki, məchul yk=yk(x) (k=1,2,…,n) funksiyaları və onların birtərtibli y/k=y/k(x) (k=1,2,…,n) törəmələrindən asılı olan
Fk(x,y1,y2,…, y/n, y/1, y/2,… y/n) = 0
(k=1,2,…,n) (5.1)
tənlikləri verilmişdir. Bu münasibətə birtərtibli diferensial tənliklərdən ibarət olan sistem deyilir.
(5.1) sisteminin tənlikləri məchul funksiyaların törəmələrinə nəzərən həll edildikdə
y/k= fk(x,y1,y2,…yn) (k=1,2,…,n) (5.2)
sistemi alınır. Bu sistemə n tərtibli normal diferensial tənliklər sistemi deyilir. Normal sistemdə tənliklərin sayı məchul funksiyaların sayına bərabər olur.
Əgər (5.2) sisteminin sağ tərəfi aşkar şəkildə x arqumentindən asılı deyilsə, yəni (5.2) sistemi
y/k= fk(x,y1,y2,…yn) (k=1,2,…,n) (5.2)
şəklində olduqda, ona avtonom və ya stasionar sistem deyilir.
(a,b) intervalında təyin olunmuş və kəsilməz diferensialların n dənə y1(x), y2(x),… yn(x) funksiyalar çoxluğu (5.2) normal sisteminin bütün tənlikləri eynilik kimi ödəyərsə, yəni (5.2) sisteminin bərabərliklərini eyniliyə çevirərsə, onda həmin funksiyalar çoxluğuna sistemin (a,b)intervalında həlli deyilir. Sistemin həllərini tapmaq məsələsi onun inteqrallanması adlanır.
x,y1,y2,…yn kəmiyyətlərinə (n+1) ölçülü fəzanı koordinatları kimi baxa bilərik. Fərz edək ki,(5.2) sisteminin sağ tərəfindəki fk(x,y1,y2,…yn) (k=1,2,…,n) funksiyaları (n+1)-ölçülü fəzanın müəyyən bir D oblastında təyin olunmuşdur. Bu halda deyirlər ki, (5.2) sistemi D oblastına verilmişdir. (5.2)sisteminin hər bir
y1=y1(x), y2=y2(x),…, yn=yn(x) (5.3)
həlli (n+1) ölçülü fəzada bir əyri müəyyən edir.Bu deməkdir ki, x arqumenti (a,b) intervalında dəyişdikdə (n+1) ölçülü fəzanın (x,y1(x), y2(x),…,yn(x)) nöqtəsi həmin fəzada bir əyri təsvir edir.Bu əyriyə sistemin inteqral əyrisi deyilir.x=x0 olduqda yk(x0)=yk0,
(k=1,2,…,n) olursa, onda inteqral əyrisi (x0,y10, y20, …, yn0) nöqtəsindən keçir.
D oblastının hər bir nöqtəsindən elə düz xətt parça keçirək ki,onun istiqamətverici kosinusları vahid və (5.2) sisteminin sağ tərəfindəki funksiyaların qiymətləri mütənasib olsun. Onda istiqamətlər meydanı alırıq.
(5.2) sisteminin hər bir inteqral əyrisinin ixtisar nöqtəsindəki toxunanın istiqaməti bu sistemin müəyyən etdiyi meydanın həmin nöqtədəki istiqaməti ilə üst-üstə düşür.Bu da normal sistemin həndəsi mənasını göstərir. Əgər (5.2) inteqral əyrisi üçün
x x0 olduqda
y1(x) y1(0), y2(x) y2(0), …, yn(x) yn(0)
münasibıti doğru olarsa, onda deyirlər ki, inteqral (x0,y1(0),…,yn(0)) nöqtəsinə yaxınlaşır.
Normal sistemin mexaniki mənasını bilmək arqumenti zaman hesab edib, onu t ilə, funksiya x1, x2,…,xn ilə, sistemin sağ tərəfini isə X1,X2,…,Xn ilə işarə edək. Onda

dx1 =X1(t,x1,x2,…,xn),
dt

dx2 =X2(t,x1,x2,…,xn),
dt
………………………………..
dxn =Xn(t,x1,x2,…,xn),
dt

normal diferensial tənliklər sistemini alırıq. Bu sistemin x1=x1(t), x2=x2(t),…,xn=xn(t) həlli n ölçülü (x1, x2,…,xn) fəzasında nöqtənin hərəkətinə uyğundur.Bu fəzaya faza fəzası,hərəkət edən nöqtənin cızdığı əyriyə isə hərəkətin trayektoriyası deyilir.
(5.4) sisteminin inteqrallanması bu sistemin müəyyən etdiyi hərəkətləri tapmaq və onun xassələrini öyrənməkdir. (x1, x2,…,xn)fəzasında nöqtənin hərəkətinə uyğundur.Bu fəzaya faza fəzası, hərəkət edən nöqtənin cızığı əyriyə isə hərəkətin trayektoriyası deyilir.
(5.4) sisteminin inteqrallanması bu sistemin müəyyən etdiyi hərəkətləri tapmaq və onun xassələrini öyrənməkdir.
(5.2) sistemi üçün Koşi məsələsini aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:
(5.2) sisteminin elə y1(x),y2(x), …, yn(x) həllini tapın ki,
y1(x0)=y1(0), y2(x0)=y2(0), …, yn(x0)=yn0 (5.6)
şərtlərini ödəsin, burada x0, y10, y20, …, yn0 – lar verilmiş ədələrdir. x0–a arqumentin başlanğıc qiyməti, y10, y20, …, yn (0) –lara məchul funksiyaların başlanğıc qiyməti, x0,y10, y20, …, yn0 – la birlikdə həllin başlanğıc verilənləri (məlumatları), (5.6) şərtin isə başlanğıc şərt deyirlər.
Koşi məsələsini həll etmək, həndəsi olaraq M0(x0, y10, y20, …, yn (0)) Є D nöqtəsindən keçən inteqral əyrisini tapmaq deməkdir.
Koşi məsələsinin mexaniki mənası isə (5.4) sisteminin t = t0 olduqda
x1=x10, x2=x20,…, xn=xn0 (5.7)
şərtlərini ödəyən həllini, yəni ((5.4) sisteminin müəyyən etdiyi elə hərəkəti tapmaq deməkdir ki, zamanın verilmiş t0 anında hərəkət edən nöqtə fəzanın (x10, x20, …, xn 0) nöqtəsində (vəziyyətində) olsun. t0 –a zamanın başlanğıc nöqtə (vəziyyət) deyilir. t0, x10, x20, …, xn 0 ədədləri birlikdə hərəkətin başlanğıc verilənləri (məlumları), (5.7) şərti isə həmin hərəkətin başlanğıc şərti adlanır.

Qüvvət sıralarının diferensial tənliklərin həllinə tətbiqi


Diferensial tənliyin həllini sonlu şəkildə elementar funksiyalarla ifadə etmək mümkün olmadıqda, tənliklərin həlli üçün təqribi üsullar tətbiq edilir. Belə təqribi üsullardan biri Teylor sırasından istifadə etməkdir.
Qüvvət sıralarının köməyi ilə diferensial tənliyin həllini iki üsulla tapmaq olar.
Tutaq ki,
y”=F(x,y,y, ) (4.1)
tənliyinin
y/x=x0 = y0, y,/ x=x0 =y, 0 (4.2)
başlanğıc şərtlərini ödəyən həllini tapmaq tələb olunur.
Ardıcıl diferensiallaşma üsulu.
Tutaq ki, (4.1) tənliyinin y=φ (x) həllini

y= φ (x) = φ(x0)+ φ(x0) =(x-x0)+ φ(x0) =(x-x0)2+ …+ φ(x0) =(x-x0)+ … (4.3)
1! n!
leylor sırası şəklində göstərmək mümkündür.Bu zaman ilk iki əmsal (4.2) başlanğıc şərtlərindən tapılır. (4.1) tənliyində x=x0, y=y0, y/=y/0 qiymətlərini yerinə yazmaqla üçüncü əmsalı tapırıq:
φ” (x0)=(y”)x=x0 = F(x0,y0,y,0).
φ m (x0), φ(4) (x0),…qiymətlərini (4.2) tənliyini x nəzərən ardıcıl diferensiallayaraq x=x0 olduqda törəmələri hesablamaq yolu ilə tapırıq.Törəmələrin (əmsalların) tapılma qiymətlərini (4.3) bərabərliyində yerinə yazarıq.
(4.3) sırası x-in bu sıranın yığılan olduğu qiymətlər üçün (4.1) tənliyinin axtarılan xüsusi həllini ifadə edir. Bu sıranın cəmi (4.1) tənliyinin təqribi həlli olacaq.
Əgər y0, və y/0 – ə ixtiyari sabitlər kimi baxsaq, göstərilən üsul (4.2) tənliyinin ümumi həllinin qurulması üçün tətbiq edilə bilər.
Qeyri müəyyən əmsallar üsulu.
Bu üsul dəyişən əmsallı xətti diferensial tənliklərin inteqrallanması üçün daha əlverişlidir.
Tutaq ki,
y”+p1(x) y/ + p2(x)y=f(x) (4.4)
tənliyinin y(x0)=y0,y/ (x0)= y/0 başlanğıc şərtləri ödəyən həllini tapmaq tələb olunur.
P1(x), P2(x) əmsallarının və f(x) sərbəst həddinin hər hansı x-x0-ın qüvvələri üzrə yığılan sıralara ayrılığını fərz edərək, axtarılan y=y(x) həllini qeyri müəyyən əmsallı
y= c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+… +cn(x-x0)n + … (4.5)
qüvvət sırası şəklində axtaracağıq.c0 cə c1 əmsalları başlanğıc şərtlərin köməyi ilə müəyyən edilir:
c0=y0, c1= y/0.
Sonrakı əmsalları tapmaq üçün (4.5) sırasını iki dəfə (tənliyin tərtibi dəfə) diferensiallayaq. Sonra isə p1(x), p2(x) və f(x)-i onların ayrılışları ilə əvəz edərək (4.4)tənliyində y funksiyasının və onun törəmələrinin ifadələrinin yerində yazırıq. Nəticədə alınan eyniliklərdən qeyri – müəyyən əmsallar üsulu ilə çatışmayan əmsalları təyin edirik. Qurulum (4.5) sırası da x-x0-ın qüvvətlərinə görə yığılır və (4.4) tənliyinin həlli olur.