Coğrafiyanın tədrisində xəritə və atlaslardan istifadə, sxemlərin çəkilməsi.


Coğrafiyanın tədrisində xəritələr mühüm bilik mənbəyi olan başlıca əyani vasitədi. Xəritə üzərində bir anda yer səthinin böyük hissələrini, bütövlükdə yer kürəsini nəzərdən keçirmək olur. Görünməsi mümkün olmayan sahəhlər haqqında ancaq xəritə vasitəsilə təsəvvür yaradılır. Bu münasibətlə məşhur metodislərdən biri belə yazmışdı:- Şagirdlər Qafqaz, Böyük Britaniya, Cənubi Amerika və başqa ərazilərin heç olmazsa ən qaba sxematik xəritəsini görməsələr bu ölkələr haqqında onlar üçün xüsusiyyət təşkil edən sahil xətti,iqlim, relyef, hidroqrafik şəbəkə, bitki örtüyü barədə təsəvvür yarnmaz. Xəritə olmasa coğrafi adların yadda saxlanılması mənasız əzbərçilik olar. Yer səthində onun ayrı-ayrı hissələrində cisim və hadisələrin yerləşməsi haqqında məlumatların əks etdirilməsi xəritənin başlıca vəzifəsidi. Xəritə əvəzedilməz dərk etmə vasitəsidir. Belə ki, cisim və hadisələrin məkandaki mövqeyi, istiqamətləri, sərvətləri, qarşılıqlı yerləşməsi haqqında aydın və dəqiq təsvvür verir. Xəritə hər bir coğrafi tədqiqatın başlanğıc vasitəsidi. Bütün mənbələrdə onu müşayət etməklə son nəticədə olan xəritələr şərti işarələrin dili ilə təsvir edilən təkcə yerləşməsi deyil həmdə onun inkişafını əks etdirir. Xəritələrin verdiyi məlumatları ala bilməküçün kartoqrafik və coğrafi biliklərə sahib olub onlardan istifadə etməyi bacarmaq yəni xəritəni oxumaq lazımdır. Coğrafiyanın təlimi prosesində xəritə çox mühüm rol, pedoqoji, psixoloji vəzifəni yerinə yetirərək bilikləri sistemləşdirir. Onların mənimsənilməsi və yadda qalması asanlaşdırır. Xəritə ilə məzmunca və formaca müxtəlif frontal və fərdi praktik işlər aparmaq ətraf ərazilərin öyrənilməsi və təssərüfatda mənimsənilməsilə əlaqədar olan məsələləri həll etmək mümkündür. Xəritəsiz coğrafiya elmi mövcud olmadığı kimi coğrafiya fənnidə tədrisi qeyri mümkündür. Xəritələr ərazi əhatə etməsinə, məzmununa, miqyasa, vəzifəsinə və s. əlamətlərə görə təsvir edilir. Ərazi əhatə etməsinə görə xəritələr dünya və yarımkürələr, materiklər və okeanlar onların hissələri ayrı-ayrı dövlətlərin, vilayət və rayonlar kimi növlərə ayrılır. Məzmununa görə xəritələr ümumcoğrafi və tematik tiplərə ayrılır. Ümum coğrafi xəritələrdə bütün kompanentlər eyni dərəcədə təsvir edilir. Məsələn : fiziki xəritələr misaldı. Tematik xəritələrdə təbiət hadisələri təsvir edilən fiziki-coğrafi xəritələrə və ictimai hadisələrə təsvir olunan icmal iqtisadi xəritələrə bölünür. Məsələn :siyasi-inzibati xəritə, əhali xəritəsi, bitki örtüyünün xəritəsi, torpaq xəritəs və s. Tematik xəritələr ümumi və sahəvi xəritələrə bölünür. Miqyasa görə iri miqyaslı, orta miqyaslı və kiçik miqyaslı tiplərə bölünür. Divar xəritələri dərsdə yeni materialı şərh edərkən müvafiq obyektləri göstərmək, təkrarlama,çalışma , şagirdlərin biliklərini öyrənmək üçün istifadə edilir. Bu xəritələrdə sahil xətlərinin, çayların və s. Təsviri olduqca qabarıq verilir. Düzənliklərə dağların, quru ilə suyun sərhədi parlaq rənglərin köməyi ilə fərqlənir. Stol üstü xəritələrdən dərsliyə əlavə edilən rəngli xəritələrdən ( dərsliyə əlavə edilən rəngli xəritələrdən ), mətn xəritələrdən, atlasın xəritələrindən geni şistifadəsi aiddir. Divar xəritələrindən fərqli olaraq stol üstü xəritələrdən sinifdə və evdə şagirdlərin müstəqil işi üçün istifadə edilir. Dərsliyin mətn xəritələri onlara əlavə edilmiş xəritələrdən fərqli olaraq ağ-qara rənglərlə təsvir edilmiş fiziki və iqtisadi xəritə sxemlərdən ibarət olur. Onların məzmuna əksərən dərsliyin müvafiq mətninə uyğun gəlir. Hazırda bütün kurslar üzrə müvafiq dərs atlaslar mövcüddür. Eyni zamanda atlasın xəritələri müvafiq divar xəritələri ilə eyni proyeksiyalarda qurulur. Atlasın xəritələrində əlavə yük verilir. Onlara coğrafi adların göstəriciləri və cədvəllər əlavə olunur. Həmdə sinif və ev çalışmalarını yerinə yetirərkən bilikləri yoxlayıb qiymətlənditmək məqsədilə kontur xəritələrdən istifadə edilir. Kontur xəritələr tək-təkhalında ayrı-ayrı siniflər buraxılır. Məzmunu müvafiq sinfin proqramına uyğun gəlir. Coğrafiyanın tədrisində kartoqrafik təsvirlərdən biri olan qlobusun rolu böyükdür. Qlobus böyük, orta və kiçik növlərə bölünür. Şagirdlərin müstəqil işi üçün istifadə olunur. Dərəcə torunu öyrədməkdə isə qara qlobusdan ( indiksion ) istifadə edilir. Induksion qlobus vasitəsilə yerin sutkalıq və illik hərəkətini göstərmək, fəsillərin əmələ gəlməsini göstərmək üçün telluridən istifadə olunur. Xəritəni oxumağı şagirdlərə öyrədərkən birinci xəritəni başa düşmək lazımdı, yəni kartoqrafik biliklərə malik olmaq, xəritənin nə olduğunu, onun xassələrinin məzmununu, vəzifəsini, üzərindəki şərti işarələrin nəyi bildirdiyini, xəritələrdən necə istifadə edildiyini bilək lazımdır. Xritəni oxumaq, yəni şərti işarələrin məcmusundan istifadə edərək nəzərdən keçirilən hər hansı ərazinin coğrafi xüsusiyyətləri haqqında düzgün nəticə çıxarmaq xəritələrin koməyi ilə təbii və ictimai obyektin , hadisənin yerləşməsini müasir vəziyyətini öyrənməyi bacarmaq lazımdır. Xəritənin ən mühüm əlamətləri onun planı ilə tutuşdurulması yolu ilə nəzərdən keçirilir.
1. Xəritədə təsvirlərin şərtliyi.
2. Təsvirlərin kiçildilməsi
3. Təsvirin genelorizasiyası.
4. Planda və xəritədə cəhətlərin xüsusiyyətləri.
Bu təsvirlər ekskursiyalardan, kinofilmlərdən, şəkillərə baxışdan əldə etmək olar. Topoqrafik coğrafiya xəritələrdə şərti işarələrin izahı, obyektin tapılması, hündürlük və dərinlik şkalası, koordinantların təyini, cəhətlərin və məsafələrin ölçülməsi üçün kortoqrafik şəbəkədən istifadə vacibdir. Xəritənin oxunması dedikdə aşağıdakılar nəzərdə tutulur.
1. Şərti işarələrdən istifadə edərək təsvir etdikləri ayrı-ayrı obyekt və hadisələrin aydınlaşdırılması.
2. Həmin obyekt və hadisələrin mövqeyi və yerləşməsi haqında məkan təsəvvürünün əldə edilməsi.
3. Öyrənilən ərazinin bu və ya digər xüsusiyyətləri haqqında məlumat əldə etmək
Xəritəni oxumaq bacarığı kifayət qədər əldə etdikdən sonra. Şagirdlər coğrafi obyektiləri( təbii ərazi kompleksləri, ərazi istehsal kompleksəliri və s.) xarakteristikasını araşdıra bilir. Bunun üçün plan olmalıdır. Plana müvafiq obyektlərin ( dəniz, dağ, çay, ölkə, rayon ) xəritə üzrə xarakteristikasını sxematik verə bilər.
Məsələn : dənizin xəritə üzərindəki xarakteri aşağıdakı planla verilə bilər.
1. Hansı okeanın hövzəsinə aiddir.
2. Başqa dənizə, okeana, ətrafındakı quruya görə mövqeyi.
3. Mühüm körfəz, ada, yarımadalar.
4. Sahil xətti.
5. Ən dərin və dəyaz yerləri.
6. Donub donmaması.
7. Duzluluğu, bitki və heyvanat aləmi.
8. Dənizin təsərüffat əhəmiyyəti.
Xəritə üzrə coğrafi nomenklaturanın öyrənilməsi proqramda müəyyən edilmiş minimum adların və onların xəritədəki yerlərinin şagirdlərin hafizəsində möhkəm qalmasının təyin edilməsi müəllimin əsas vəzifələrindən biridir. Nomenklaturanın adların yadda saxlanıb düzgün tələfus edilməsi, xəritədəki yerlərin tabılıb göstərilməsinə nail olmaq üçün müxtəlif priyomlardan istifadə olunur. Əvvəl müəllim özü adları düzgün tələffüz edir, xəritədə göstərir, şagirdlərə göstətdirir, deditdirir, çətin adları yazı taxtasına yazır.

Coğrafiyanın tədrisində materialların şifahi şərhi metodları,izah, mühazirə, müsahibə.


Şifahi şərh metodları dedikdə dərsdə müəllimin nağılı izahı, mühazirəsi, ha belə müsahibə , ucadan oxu nəzərdə tutulur. Bu metodlardan müəllim qısa vaxt ərzində istifadə edərək öyrədilən mövzunu aydınlaşdırır, ölkəşünaslıq, materiallar və müasir həyatdan götürülmüş faktlar əsasında şagird dünyagörüşünün formalaşmasına şərait yaradır. Şifahi şərh şagirdlərdə şifahi nitqdən bilik əldə etmək, başqasının danışığını dinləmək qabiliyyətini inkişaf etdirir. Şagirdlər üçün coğrafi materialın ardıcıl və məntiqi izahına şərait yaradır. Şifahi şərh metodunda şagirdlərin dərk etmə fəaliyyətinə bacarıqla rəhbərliketməsinə imkan yaradır. Bu metodda aşağıdakı priomlar tətbiq edilir:-Şagirdlərə dərsin mövzusu elan edilir, coğrafi xarakteristikaların tipik planı verilir. Dərindən və möhkəm mənimsənilməli olan fakt və anlayışlar müəyyən edilir. Anlayışlar hissələrə bölünür. Problem situasiyası yaradılır. Müvafiq suallar qoyulur. Müqaisədən istifadə edilir. Şifahi şərhi dinləmə vərdişi şagirdlərdə tədricən yaranır. Şifahi şərh xəritə üzərində iş, əyani vəsaitlərlə iş, qrafik və dioqromlarla iş, dərslik üzərində iş, coğrafiya tədrisində istifadə olunan tədris materiallarıdır. Coğrafiyanın tədrisi zamanı nağılın iki tipundən:-aydınlaşdırıcı və təsviri nağıldan.istifadə edilir. Aydınlaşdırıcı nağıl etmə əsas metod kimi izah, müsahibə, xəritə və müxtəlif əyani vəsaitlərdə üzərində işlə tətbiq edilir. Təsviri nağıl etmədə elmi kütləvi və ədəbiyyatdan səyyahların yol qeydlərindən, gündəliklərdən, şəxsi səyahətlərdən, kinofilmlərdən əld edilmiş təəssüratlardan istifadə edilir. Izah metodunda müəllim öyrənilən coğrafi obyektin, hadisənin qarşılıqlı əlaqə və səbəblərinin tam izahını verir. Izahın gedişində problem setuasiyasının yaradılması üçün suallar qoyulur, məntiqi mühakimə üçün şərait yaradılır. Sxemlərdən , statistik materiallardan, qrafik və dioqramlardan, xəritələrdən istifadə edilir. Mühazirədə dərk etmə fəaliyyətinə rəhbərlik etmək üçün şərh edilərək məsələnin qoyuluşu, məntiqi quruluşu vacibdir qabaqcadan yazı taxtasına mühazirənin planı yazılır. Şərh zamanı problemxarakterli sualın sinifinqarşısında qoyularaq müəllim tərəfindən şərh edilir. Çətin adlar, rəqəmlər lövhəyə yazılır. Xəritə sxemlərdən, cədvəllərdən istifadə edilir. Müsahibə metodunda əvvəlki bilik və bacarıqlara əsaslanaraq müəllim şagirdlərər suallar verib cavab almaqla onların yeni biliklərə müstəqil sürətdə yiyələnməyə sövq edir. Müsahibənin tərbiyyəvi əhəmiyyəti böyükdür: Şagirdlərə fərdi yanaşma üçün bir metoddan istifadə edilir. Evustik müsahibədə coğrafi hadisənin, obyektin əsas və mühüm əlamətlərini cəlb edir, müxtəlif nəticələr çıxartmağa yönəldir. Giriş müsahibəsində keçmiş bilik bacarıqları şagirdlərin yadına salaraq təkrar etdirilir. Şərhedici və aydınlaşdırıcı müsahibədə coğrafi obyektin və hadisənin mahiyyətini və əlamətlərini müəyyənləşdirir. Ümumiləşdirici müsahibədə şagirdlərin biliklərini möhkəmləndirmək, dərinlşdirmək və sistemə salmaq məqsədilə tətbiq edilir. Coğrafiyada bu müsahibə təkrarlama xartakteri daşıyır.

Coğrafiya tədrisinin başlıca prinsipləri və üsulları.


Coğrafiya elminin əsaslarının şagirdlərə yaxşı mənimsədilməsi, onların dərsi etmə qabiliyyətlərinin inkişafı əməyə hazırlanmsı işi başqa amillərlə birgə coğrafiyanın təlim metodlarından yerli yerində tətbiq etməkdən çox asılıdır.Beləki müəllim bu və ya digər təlim metodunu öz işində tətbiq etməkləşagirdlərin əqli fəaliyyətini də müəyyən istiqamətə yönəldir.Onlar bilik, bacarıq və vərdişlərlə aşılamağı öyrədir.Müəllim təlim metodlarından istifadə edərək şagirdlərdə yaradıcılıq qabiliyyətinin inkişafına nail olur.Onların biliklərə müstəqil sürətdə yiyələnməyə alışdırır:dünyagörüşünü formalaşdırır.Təlim metodları təkcə müəllimin iş, üsulları deyil , həm də şagirdlərin coğrafiya prosesinin inkişafı deməkdir.Müəllim təlim metodlarından istifadə edərkən bə`zi dərs etmə fəaliyyəti, əqli fəaliyyət priomlarını qabaqcadan bilir.Alimlər göstərir ki,Didanfenado təlim metodları didendə müəllimin rəhbərliyi altında şagirdlərin bilik, bacarıq və vərdişlərlə silahlandırılması, onların dünyagörüşünün formalaşması , dərs etmə qabilliyətinin inkişaf etməsi başa düşülür. Metod termini ilə yanaşı pedaqoji və metodun ədəbiyyatda priom termini işlədilir.Priomdedində tə`lim metodlarını əmələ gətirən, onların tərkibinə daxil olan hissə-elementlər nəzərdə tutulur.
Məs:Xəritə üzərində iş metodunun tərkibində aşağıdakı preyomlar ayırmaq olar.
1-Xəritə üzrə hər hansı coğrafi obyektin və hdisənin təsviri.
2-Xəritə üzrə koordinantların təyini, vaxtın, məsafələrin hesablanması.
3-Kontur xəritələrinin doldurulması.
4-Xəritə üzrə fiziki və iqtisadi coğrafi xarakteristikaların tərtibi.
5-Müxtəlif xəritələrin tutuşdurulması əsasında fiziki və iqtisadi coğrafi qanunauyğunluqlarınaşkar edilməsi.
Misal çəkilən priomların hər biri xəritə üzrə iş metodunun tərkibinə daxil olduğu halda onlardan heç biri təklikdə həmin metodu əhatə eləmir.Təlim metodları biliklərin əldə edildiyi mənfə`lərə görə bir-birindən fərqlənirlər.Coğrafiya metodlarında öyrənilən bir sıra obyekt, cisim və hadisələr məktəbi əhatə edən rayonda olduğundan praktik çalışma və iş əsasında olduğu kimi müşahidə etmək mümkün olur.Məs:Hava və aşınma hadisələri ətraf relyef. Yerli sular sənaye və k/t müəssisələri göstərilə bilər.Coğrafiyanın əsas mənbələrindən biri kartoqrafiya materiallarıdır.Bu kursun tədrisində Yer nüvəsində yer süxurunda və suyun paylanması, ayrı-ayrı materik və oneonların yerləşməsi , ölkələrin iqtisadi, rayonların coğrafi mövqeyi, sahil xətləri, istilik qurşaqları, dərəcə tonu və s. biliklər öyrədilir.Bu tip biliklər ancaq kartoqrafik materiallara aid olan qlobus, xəritələrdə öyrənmək olur.Proqramda nəzərdə tutulan coğrafi biliklərin mənimsənilməsi üçün dərsləri və kitabdan, müxtəlif əyani vasitələrdən, şagirdlərin özlərinin coğrafi təsəvvürlərindən, təcrübələrindən, yə`ni məhəldə aparılan ölçmə və planalma işləri, hava üzərində müşahidələr və s. də istifadə olunur.Coğrafiyanın təlim metodlarını 3 böyük qrupa bölmək olar.
1)Söz metodları – əsas bilik mənbəyi kimi şifahi və yazılı sözdür.Nağıl, izahat, mühazirə, ucadan oxu, müsahibə, dərsləri və kitablar üzərində iş, flalistik materiallarla iş və s.
2)Əyani metodlar –Bura coğrafiya xəritələrindən və əyani vasitələrdən istifadə edilməsi, müşahidələr, təcrübələr aiddir.
3)Praktik metodlar – bura yolun və sahənin plana alınması , nisbi hündürlüklərin ölçülməsi, relyefin horizontallar üsulu ilə təsviri çayın eninin, dərinliyinin ölçülməsi,orta axın sü`rətinin , en kəsiyinin sahəsinin hesabıanması və profil çertyojunun çəkilməsi.Coğrafiyanın tədrisi prosesində müxtəlif tə`lim metodlarindan istifadə edilir.Çünki universal tə`lim metodu yoxdur.Hər bir tə`lim metodunun müəyyən xüsusiyyəti vardır.Bə`zi təlim metodları xəritə üzərində işləmək bacarıqlarını formalaşdırır.Digər metod isə şagirdlərin məntiqi tələsi kürünü və nitqini inkişaf etdirir.Coğrafiyanın tədrisində müxtəlif metodların birləşmələrindən istifadəedilir.Bu isə şagirdlərin fəallığını artırır.Yorğunluğunu və diqqətini yayılmamasının qarşısını alır.Metodların və müxtəlif birləşmələri işə tədbiq etməklə qarşıya qoyulan didantik məqsədi , öyrənilən proqramı materialının məzmunu, şagirdin hazırlıq səviyyəsi, müəllimin şəxsi keyfiyyəti , məktəbin tədris bazasından asılıdır.Heç bir bilik metodu təklikdə istifadə edilmir.Bir neçə metod birləşmiş halda tətbiq edilir.Məs:Materialların mövqeyini öyrənmək üçün tətbiq edilən müşahidə metodu mütləq xəritə üzərində işlə müşaət olunur.Əksər hallarda şifahi şərh etmə müsahibə və xəritə üzərində iş metodları birliktə olur.Müəllim metodları tətbiq edərkən mövcud şərait və imkana görə ən əlverişli, effektli, aparıcı metodu secməlidir.Coğrafiya tədrisi prosesində öyrədilən proqram mətninin məzmununu, şagirdlərin bilik səviyyəsi müstəqilliyin dərəcəsi dəyişdikcə məntiqi mühakimə, qruplaşdırma, müqayisə və daha mürəkkəb, müstəqil iş tələb edən priomlar tələb olunur.

Coğrafiya tədrisinin təşkili formaları.


Coğrafiya tədrisinin təşkili formaları haqqındaanlayış: coğrafiya dərsi, tədris ekskursiyaları, şagirdlərin ev tapşırıqları. diyarşünaslıq müzeyi. Coğrafiya dərnəyi və coğrafiya klubunun məşğələləri və fakultativ məşğələlər,şagirdlərlə məsləhət saatları,imtahanlar.
Sinif-dərs sistemi coğrafiya təliminin əsas təşkilat formasıdır.Müasir coğrafiya dərslərinə verilən tələblər.Sinif-dərs sisteminin üstünlüklərivə məhdud cəhətləri, bu təlim formasini təkmilləşdirmək yolları.
Coğrafiyadan əsas dərslikləri: mürəkkəb dərs, yenibilik verən dərs ,bilik və bacarıqları möhkəmləndirəndərs, prktik məşğələ tipli dərs və təkrar dərsləri.
Coğrafiyadan tədris ekskursiyalarının növləri, onların təşkili və keçirilməsimetodikası.Eekskursiyalarla sinif-dərs sistemi arasında qarşılıqlı əlaqə.
Məktəbdə coğrafiya kabinetinin təşkilini başlıca xüsusiyyətləri.Kabinetin təlim prosesi üçün böyük əhəmiyyəti, kabinetdə diyarşünaslıq guşəsi.Məktəb diyarşünaslıq müzeyinin işi.
Coğrafiya meydançasının əhəmiyyəti, onun təchizi burada aparılan iş növləri.
Məktəbdə coğrafiya üzrə fakultətiv kursların qısa məzmunu ilə ümumi tanışlıq.Şagirdlərin coğrafi hazırlığında və onların peşə-sənət istiqamətində fakultətiv kursların əhəmiyyəti.
Coğrafiyadan sinifdənkənar və məktəbdənkənar tədbirlər sistemi: elmi-coğrafi və populyar coğrafi əsərlərin oxunuşu və müzakirəsi, gəzintilər, sərgilər düzəldilməsi, məruzələr dinlənilməsi: bədii-coğrafi gecələr foto albomlar və xəritələr hazırlanması, diyarşünaslıq yürüşləri, turizm səfərləri.Coğrafiya dərnəyi və ya coğrafiya klubu ,görkəmli coğrafiya mütəxəsisləri ilə görüşlər.Sinif-dərs sistemi ilə sinifdənkənar tədbirlər sisteminin bacarıqlı əlaqələndirilməsinin müstəsna əhəmiyyəti.

Məktəb coğrafiyası və onun tədrisi metodikasının qısa tarixi.


XVIII əsrin başlanğıcında Rusiya məktəb coğrafiyasının yaranması.

XIX əsrin ikinci yarısında və XX əsrin əvvəllərində rusiyada məktəb cografiyası və onun tədrisi metodikası.K.D.Uşinski,N.V.Qoqolun coğrafiyanın tədrisinə dair fikirləri. XIX əsrin sonu və XX əsrin əvvəllərində Azərbaycanda məktəb coğrafiyası.Qafur Rəşid Mirzəzadənin elmi-metodik fəaliyyəti.
1920-30-cu illərdə Rusiyada və Azərbaycanda məktəb coğrafiyasının vəziyyəti.Abbas Quluyev,Bağır Axundov,İbrahim İbrahimbəyli,Hadı Əliyev,Qasım Gül,Ənvər Şıxlinski,Osman Osmanov və başqalarının Azərbaycanda məktəb coğrafiyasının inkişafinda rolu.Azərbaycanda coğrafiyanın tədrisi metodikasının M.Ə.Zülfüqarov və onun davamçıları tərəfindən inkişaf etdirilməsi.Azərbaycan Respublikası coğrafiyasına dair məktəb kursunun yaradılması.
1992-ci ildən başlayaraq yeni coğrafiya proqramları,dərslikləri,coğrafiya xəritələri,metodik vəsaitlərin yaradılması üzrə aparılan işlər.Coğrafiya olimpiadaları və bunların məktəb coğrafiyasında əhəmiyyəti.

Azərbaycan Respublikasında məktəb coğrafiyasının vəzifələri,məzmunu və strukturu.
“Coğrafiya elminin əsasları” və “Məktəbdə coğrafiya fənni” anlayışlarının ümumi fərqli cəhətləri.
Məktəb coğrafiya fənninin yaradılmasında nəzərə alınan başlıca şərtlər.Məktəb coğrafiyasının ümumtəhsil və tərbiyəvi vəzifələri: şagirdlərin coğrafi bilik və bacarıqları silahlandırılması, şagirdlərin elmi dünyagörüşünün formalaşmasında məktəb coğrafiyasının rolu.Vətənpərvərlik, beynəlmiləlçilik, təbitə və xalqın maddi sərvətlərinə qayğı göstərmək , ölkəmizin müdafiəsinə hazır olmaq, əməyə məhəbbət kimi keyfiyyətlərin formalaşmasında məktəb coğrafiyasının əhəmiyyəti.
Coğrafiya elminin inkişaf perspektivləri və praktik əhəmiyyəti ilə şagirdlərin tanış edilməsinin zəruriliyi.
Proqram və dərsliklər məktəb coğrafiyasının məzmunu və strukturunu əks etdirən əsas mənbələrdir.Proqramın tərtibində nəzərə alınan başlıca prinsiplər.Təlimin məzmununda vaxtaşırı edilən dəyişikliklərin səbəbləri.”Dərslik” və “dərs vəsaiti” anlayışları.Coğrafiya dərsliyinə verilən elmi-pedaqoji və metodik tələblər, bu baxımdan istifadədə olan dərsliklərin təhlili.

kabinet

Coğrafiyanın tədrisi metodikasının predmeti və vəzifələri.


Pedoqoji elmlərdən biri olan coğrafiyanın tədrisi metodikasının predmeti coğrafiyanın əsaslarının şagirdlərə öyrədilməsi prosesidir.Bu elm məktəbin qarşısında qoyulmuş təlim ,tərbiyə vəzifələrinə uyğun olaraq məktəb coğrafiyası kursunun məqsədinin məzmununun sistemini işləyib hazırlayır.Başqa sözlə coğrafiya elmlərinin hansı məsələlərini şagirdlərə öyrətməli sualına cavab verir.Coğrafiyanın öyrədilməsi ilə əlaqədar olaraq şagirdlərin təlim,tərbiyə prosesinin qanunauyğunluqlarının tədqiqi də coğrafiya metodlarının predmetinə aiddir. Coğrafiyanın tədrisi metodikasının tədqiq etdiyi problemlərə aşağıdakilər aiddir.

1-Məktəb coğrafiyasının təhsil və tərbiyə vəzifələri.
2- Məktəb coğrafiyasının məzmunu.
3-Müəllimin öyrədici fəaliyyəti.
4-Şagirdin öyrədilməsi.
5-Coğrafiyanın təlimi prosesində şagirdin təlimi və inkişafı.
Təlimin məzmununun,metodlarının və təşkilat formalarının daim təkmillaşdirilməsi coğrafiya metodikasının əsas vəzifələrindən biridir.Digər elmlər kimi coğrafiyanın tədrisi metodikası təcrübəyə xidmət edir.Metodika uzun illərdən bəri coğrafiyanın öyrədilməsi sahəsində toplanmış təcrübələri ümumiləşdirərək müəllimlərə çatdırır.Bunun da sahəsində müəllim öz işini tənqidi sürətdə nəzərdən keçirir.Artıq məlum olan və təcrübədə sıaqdan çıxmış təlimin təşkilat formalarını və metodlarını kəşf etməklə məşğul olunur.Metodika coğrafiyanın tədrisi təcrübəsini zənginləşdirərək təlim tərbiyə işinin keyfiyyətini yüksəltməkdə müəllimə aşağıdakı məsələlərdə yaxından kömək edir.
1-Ümumi politexniki təhsil,əmək əxlaqi,estetik tərbiyyə sistemində şagirddə elmi dünyagörüşünün formalaşmasında,coğrafiyanın məqsəd və vəzifələrinin müəyyənləşdirilməsində.
2-Məktəb coğrafiya kurslarının məzmununun təkmilləşdirilməsində və elmi təhlilində.
3-Müəllim ayrı-ayrı coğrafiya kurslarının məzmununa şagirdlərin yaş xüsusiyyatinə müvafiq olan elmi sürətdə əsaslandırılmış təlim,tərbiyə metodları və pedoqoji prosesin müasir avadanlıq sistemi haqqındakı biliklərlə silahlandırılmasında.
4-Təlimin təşkilat formalarının müəyyənləşdirilməsində.
5-Şagirdin örədilməsi və onun inkişafının daha səmərəli yolların tapılmasında.
6-Coğrafiya dərslərinə qoyulan tələbin müəyynləşdirilməsində.
7-Coğrafiya üçün tədris avadanlığının və ondan istifadə metodikasının hazırlanması.
8-Ölkəşünaslığın və sinifdənkənar işin formaları,məzmunu və metodları ilə müəllimin tanış olmasında.
Konkret məsələnin şərhinə,həllinə gəldiktə siniflərin mənafeyini müdafiə edirlər.Müasirlik,idealılıq,siyasi tərbiyə coğrafiyanın tədrisinin ən xarakterik xüsusiyyətidir.Coğrafiya metodikası birinci növbədə coğrafiya elmləri ilə sıx əlaqədədir.Metodika məktəb coğrafiya kursunun məzmununa müvafiq olaraq yüksək pedoqoji effekt verən təlimin təşkilat formalarını və metodlarını müəyyən edir.məktəb coğrafiyasının məzmununu,quruluşunu,ardıcıllığını,dərinlik dərəcəsini,habelə təlimin təşkilat formalarını və metodlarını müəyyənləşdirən coğrafiya metodikası şagirdləri yaş xüsusiyətini,hazırlıq səviyyəsini nəzərə alır.Coğrafiyanını tədrisi metodikası məktəb coğrafiyasının məzmununu,təlimintəşkilat formalarını və metodlarını tədqiq edərkən pedaqogikanın xüsusi bir sahəsi kimi onun başqa sahələrinə birinci növbədə didaktikaya,tərbiyə nəzəriyyəsinə,habelə psixologiyaya əsaslasnır.
Coğrafiyanın tədrisi metodikası bir elm sahəsi kimi ümumi və xüsusi hissələrə bölünür.
Metodika tarixi sahəsində aparılan tədqiqatların nailiyyətləri coğrafiya tədrisi metodikasının tarixi kimi səciyyələnir.Ümumidirsə coğrafiya metodikasının fənnini elmi tədqiqat metodlarını öyrənir.Coğrafi biliklərin mənimsənilməsinin qanunauyğunluqlarını,təlimin təşkili formaları və metdolarını müəyyənləşdirir.
Metodikanın ümumi yəni birinci hissəsinin qayda və qanunlara müvafiq olaraq onun ikinci hissəsi məktəb coğrafiyasının ayrı-ayrı kurslarinin məqsəd və vəzifəsini,məzmununu müəyyənləşdirir. Onların təlimini,metodik əsaslarını işləyib hazırlayır.Problemləri də həll etmək üçün aşağıdakıları qeyd etmək olar.
1- Məktəb coğrafiyasının məzmununu coğrafiya elmini müasir inkişaf səviyyəsinə uyğunlaşdlrmaq.
2- Təlim və tərbiyə arasında olan müəyyən əlaqəsizliyi aradan qaldırmaq yolları və vasitələri.
3- Elmi dünyagörüşünün formalaşmasında coğrafiyanın rolunun artırılması.
4- Təlimin forma və metodlarını kökündən yaxşılaşdırılması.
5- Ən yeni texniki vasitələrin tətbiqi.
6- Şagirdlər tərəfindən seçilən məşğələlərin sinifdənxaric iş və problemlərin seçilməsi və işlənməsi.

kabinet

Sabit əmsallı xətti diferensial tənliklər sistemi.


Tərif 8.1. Normal diferensial tənliklər sistemində f1,f2,…, fn funksiyaları məchul funksiyalara nəzərən xətt olarsa, belə sistemə xətti sistem deyilir.
Bu tərəfdən alırıq ki, xətti sistem aşağıdakı şəkildədir:

dy1 = a11y1 + a12 y2 + …+ a1n yn+b1,
dx
dy2 = a21y1 + a22 y2 + …+ a2n yn+b2, (8.1)
dx
………………………………………………. ,
dyn = an1y1 + an2 y2 + …+ ann yn+bn,
dx

burada, aik əmsallarının və bk (i,k, = 1,2,…,n) “sərbəst hədlərinin” hamısı, ümumi halda, x-dan asılı olan məlum funksiyalardır. Sistemdəki məchul funksiyalar y1, y2,…yn ilə işarə edilmişdir.
Vektor – matris işarələrindən istifadə etsək, (8.1) sistemini sadə və qısa şəkildə yaza bilərik.

dy
y1(x)

Y (x) = y2(x)

………..

yn(x)

işarə etək. Bu vektorun törəməsi olaraq yeni

y/1

dy = y/2
dx ……
y/n

vektorunu qəbul edək. Onda

a11 a12 … a1n
b1
A = a21 a22 … a2n b2
……………….. B =

an1 an2 … ann , bn

matrislərindən istifadə etməklə (8.1) sistemini vektorların bərabərliyi kimi yaza bilərik:

dY
= AY +B
dx
Bu bərabərlik xətti diferensial tənliklər sisteminin vektor – matris şəklində yazılışı adlanır.
Biz sabit əmsallı xətti bircins diferensial tənliklər sisteminin həllini araşdıracağıq. Fərz edək ki, (8.1) sistemində aik = const (i,k, = 1,2, …, n) ; bΞ0 (i = 1,2, … , n).
Onda, aşağıdakı sistemi həll edəcəyik:

dy1 = a11y1 + a12 y2 + …+ a1n yn,
dx
dy2 = a21y1 + a22 y2 + …+ a2n yn, (8.2)
dx
……………………………………………,
dyn = an1y1 + an2 y2 + …+ ann yn,
dx

Əvvəlki mövzularda qeyd etdiyimiz kimi, (8.2) sistemini bir dənə bircins n tərtibli diferensial tənliyə gətirmək olar.Lakin (8.2) sistemini başqa üsulla da həll etmək mümkündür.
Sadəlik üçün sabit əmsallı üçtərtibli xətti bircins diferensial tənliklər sisteminə baxaq:

dy1 = a11y1 + a12 y2 + …+ a13 y3,
dx
dy2 = a21y1 + a22 y2 + …+ a23 y3, (8.3)
dx
dy3 = a31y1 + a32 y2 + …+ a33 y3,
dx

Bu sistemin xüsusi həllini
y1 = k1erx, y2 = k3erx, y3 = k3erx (8.4)
şəklində axtaraq, burada k1, k2, k3, r – sabit ədədlərdir.
Axtarılan funksiyaların (8.4) şəklində ifadəsini (8.3) sistemində yazaq:

rk1 erx = a11 k1erx = a12 k2erx = a13 k3erx

rk2 erx = a21 k1erx = a22 k2erx = a23 k3erx

rk3erx = a31 k1erx = a32 k2erx = a33 k3erx

Burada bütün şərtləri erx-ə ixtisar etsək və toplananları sağ tərəfə keçirsək,

( a11 –r) k1 + a12 k2 + a13 k3 = 0

a21 k1 +( a22-r) k2 + a23 k3 = 0 (8.5)

a31 k1 + a32 k2 +( a33-r) k3 =0

sistemini alırıq. Bu sistemə üçməchullu xətti bircins cəbri tənliklər sistemi kimi baxmaq olar.Sistemin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün onun determinantı sıfıra bərabər olmalıdır, yəni

a11 –r a12 a13

a21 a22 –r a23 = 0

a31 a32 a33 -r

(8.6) tənliyinə (8.3)sisteminin xarakteristik tənliyi deyilir . Bu tənlik üç dərəcəli tənlikdir. Sistemin (8.4) şəklində həllinin olması üçün r ədədinin (8.6) xarakteristik tənliyinin həlli olması zəruri və kafi şərtdir.Burada müxtəlif halların həlli

a11 –r a12 a13

a21 a22 –r a23 = 0 (8.7)

a31 a32 a33 -r

xarakteristik matrisinin xassələrini öyrənməyə tələb edir.
Fərz edək ki, (8.6) tənliyinin kökləri müxtəlifdir və bu kökləri müxtəlifdir və bu kökləri (8.7) matrisində yazdıqda sıfırdan fərqli heç olmazsa bir dənə ikitərtibli determinant alınır. Bu halda (8.6) tənliyinin hər bir r1 ,r2 ,r3 kökünə (8.3) sisteminin (8.4) şəklində xüsusi həlli uyğun olur. (8.4) – dəki k1, k2, k3 əmsalları isə (8.5) sistemində r-in yerinə r1 ,r2 ,r3 yazdıqda alınan xətti sistemin sabit vuruq dəqiqliyi ilə müəyən olunan həlli kimi tapılır.(8.3) sisteminin tapılmış xüsusi həllərinin ixtiyari sabit əmsallarla ifadə olunan xətti kombinasiyası həmin sistemin ümumi həlli olacaqdır.
(8.6) tənliyinin xarakteristik kökləri α±βi şəklində kompleks ədədlər olduqda (8.3) sisteminin bu köklərə uyğun xüsusi həlləri eax cos βx, eax sin βx funksiyaları ilə ifadə olunur ( yüksək tərtibli xətti bircins diferensial tənlikdə olduğu kimi Eyler düsturlarından istifadə edirik).

Normal sistemin inteqrallanma üsulları


Fərz edək ki, normal diferensial tənliklər sistemi verilmişdir :

dx1 = f1(t,x1,x2,…,xn),
dt
dx2 = f2(t,x1,x2,…xn) , (7.1)
dt
……………………………. ,
dx1 = fn(t,x1,x2,…,xn)
dt

və bu sistemdəki fi funksiyalarının hamısı arqumentlərinin hər birinə nəzərən(n-1) – ci tərtibə qədər kəsilməz törəməyə malikdir. Sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini t-yə nəzərən diferensiallayaq :

d2x1 ∂f1 n ∂fi dxi

dt
= + ∑
∂t i=1 ∂xi dt

yaxud

d2x1 ∂f1 n ∂fi

dt2
= + ∑ . fi
∂t i=1 ∂xi

Bu bərabərliyin sağ tərəfini F2 (t, x1, x2, … , xn) ilə əvəz edək:

d2x1

dt
= F2 (t, x1, x2, … , xn) (7.2)

Sonuncu tənliyin hər iki tərəfini yenə də t-yə görə diferensiallayıb sağ tərəfdəki

dxi -lərinin yerində (7.1) sistemindəki üyğun ifadələri yazmaqla
dt
d3 x1 = f3(t,x1,x2,…,xn) (7.3)
dt3

şəklində tənlik alınır. Prosesi davam etməklə aşağıdakı sistemi alırıq:

dx1 = f1(t,x1,x2,…,xn),
dt
d2 x1 = F2(t,x1,x2,…xn) ,
dt
……………………………. , (7.4)
dn-1 x1 = Fn-1(t,x1,x2,…,xn)
dtn-1
dn x1 = Fn(t,x1,x2,…,xn)
dtn

Fərz edək ki,dəyişənlərin D dəyişmə oblastında

∂f1 ∂f1 … ∂f1
∂x2 ∂x3 ∂xn

∂F2 ∂F2 … ∂F1
∂x2 ∂x3 ∂xn
≠ 0 (7.5)
………………………
∂Fn-1 ∂Fn-1 … ∂ F n-1
∂x2 ∂x3 ∂xn

Onda (7.4) sisteminin ilk (n-1) tənliyini x2,x3,…,xn – lərə nəzərən həll etmək olar:

xi = φi (t, x1, dx1 , d2 x1 , …., dn-1 x1 ), i = 2,n. (7.6)
dt dt dtn-1

(7.4) sisteminin sonuncu tənliyində x2,x3,…,xn – in (7.6) – dakı ifadəsini yazsaq, n – tərtibli diferensial tənlik alırıq:
dtn x1 = φ (t, x1, dx1 , d2 x1 , …., dn-1 x1 ) (7.7)
dtn dt dt dtn-1

(7.6) diferensial tənliyini həll edib x1(t)-i, sonra isə (7.6)-dan istifadə etməklə x2,x3,…,xn məchul funksiyaların tapa bilərik.
Qeyd. Əgər (7.5) şərti ödənolmirsə, onda x1-in yerinə x2-ni seçib prosesi təkrar etmək lazımdır. Əgər (7.5) şərti heç vaxt ödənilmirsə, onda müxtəlif müstəsna hallar ola bilər. Bu məqsədlə aşağıdakı misallara baxaq.
Misal 7.1.

dx1 = f1(t,x1),
dt
dx2 = f2(t,x2) ,
dt
dx3 = f3(t,x3)
dt

Bu sistemin tənlikləri biri-birindən asılı deyil. Ona görə də hər bir tənlik ayrıca inteqrallanmalıdır.

Misal 7.2.

dx1 = f1(t,x1),
dt

dx2 = f2(t,x2) , ∂f2
dt ≠ 0
∂x3
dx3 = f3(t,x3)
dt

Bu sistemin birinci tənliyindəki məchul x1 funksiyası digər tənliklərdə iştirak etmir, ona görə də birinci tənlik ayrıca inteqrallanmalıdır, iki sonuncu tənlik isə yuxarıdakı üsul ilə bir dənə ikitərtibli diferensial tənliyə gətirilə bilər.
Yuxarıdakı üsul məchulu yoxetmə üsulu adlanır.
Diferensial tənliklər sisteminin həll üsullarından biri də inteqrallanan kombinasiya- lar üsuludur.Bu üsul vasitəsilə (7.1) sistemindən alınan tənlik asnlıqla inteqrallanır və verilən sistemin birinci inteqralı tapılır. (7.1) sisteminin asılı olmayan n sayda birinci inteqralı tapılıbsa, onda onların hamısı birlikdə bu sistemin ümumi inteqralı olur.
Misal 7.3.

dx = y,
dt
dy = x
dt
diferensial tənliklər sisteminin ümumi inteqralını tapın .
Həlli; Verilən tənlikləri tərəf-tərəfə yazsaq, bir dənə inteqrallanan kombinasiya tapa bilərik:

d(x+y) d(x+y)
= x + y, və ya = dt , buradan ln|x+y|=t+lnc1, x+y = c1et
dt x + y
alınır.
Verilən sistemin birinci tənliyindən ikinci tənliyi tərəf – tərəfə çıxaraq ikinci inteqral- lanan kombinasiyanı tapa bilərik:
d(x-y) d(x-y)
= -x – y, və ya = – dt , buradan isə ln|x-y|=-t-lnc2, x-y = c2et
dt x- y
alınar.
Beləliklə, iki tənlik aldıq:
x + y = c1e1 və x-y = c2e-1.
Bu iki tənlikdən verilən sitemin həllini tapmaq olar:
1 1 _ _ _ _
x = (c1et + c2e-t), y = (c1et + c2e-t), və yaxud x = c1et + c2e-t , y = c1et + c2e-t
2 2
(7.1) sistemindən inteqrallanan kombinasiyalarını tapmaq üçün həmin sistemi simmetrik forma adlanan

dx1 dx2 dxn dx
= = … =
f1(t,x1,x2,…,xn), f2(t,x1,x2,…,xn), fn(t,x1,x2,…,xn) 1
u1
şəklində yazırlar və kəsrlərin bərabərliyindən istifadə edərək, göstərmək olar ki, əgər v1
u2 un
= = . . . = = y olarsa, onda ixtiyari a1, a2, . . . , an üçün
v2 vn

a1u1+a2u2+…+anun
= y (7.8)
a1v1+ a2v2+ …+ anvn
münasibəti doğrudur.Burada a1, a2,…,an ədələri seçilir ki, (7.8) kəsirinin surəti məxrəcin tam diferensialı olur, ya da məxrəc sıfıra bərabər olur.
Göründüyü kimi simmetrik formada sərbəst dəyişən və axtarılan funksiyalar “eyni hüquqlu” olurlar.
Misal 7.4
mz – lx nx – my
y/ = , z/ =
ly – nz ly – nz

diferensial tənliklər sisteminin ümumi həllini tapın.
Həlli: Verilən sistemi simmetrik formada yazaq :

dx dy dz
= = =y
ly – nz mz-lx nx – my

və (7.8) münasibətindən istifsdə edək. a1=m, a2=n və a3 = l götürək, onda

d (mx + ny + lz)
= y ,
0
yəni d (mx + ny + lz)=0 alırıq, buradan :
mx + ny + lz=c1 ( 7.9)

Analoji qaydada a1 = 2x, a2=2y və a3=2z götürməklə d (x2 +y2 +z2) =0, burada da

x2 +y2 +z2 = c22 (7.10)
tapırıq. (7.9) və (7.10) münasibətləri verilmiş sistemin iki dənə birinci inteqralını ifadə edir, bu iki münasibət birlikdə verilmiş sistemin qeyri – aşkar şəkildə ümumi həllidir.

Yüksək tərtibli diferensial tənliklər ilə əlaqə


Koşi teoremi. Fərz edək ki, (5.2) normal sisteminin sağ tərəfindəki f1,f2,…,fn funksiyaları x, y1, y2, …, yn dəyişənlərinin müəyyən etdiyi (n+1) ölçülü qapalı D oblastında təyin olunub.Əgər fk (k=1,2,…,n) funksiyalar M0(x0, y10, y20, …, yn (0)) Є D nöqtəsinin müəyyən ∆ ətrafında kəsilməzdirsə və y1, y2, …, yn dəyişənlərinə nəzərən kəsilməz
∂fk xüsusi törəmələrinə malikdirsə, onda x arqumentinin elə x0 – h <x<x0+h dəyişmə inter-
∂fj
valı var ki, bu intervalda (5.2) sisteminin (5.6) başlanğıc şərtini ödəyən həlli var və yeganədir.
Fərz edək ki,D oblastının hər bir nöqtəsində Koşi teoreminin şərtləri ödənilir.
Verilmiş x0, y10, y20, …, yn0 başlanğıc qiymətlərindən x0 ədədini sabit saxlayaraq y10, y20, …, yn0 ədədlərini müəyyən oblastda dəyişdirdikdə (M0(x0, y10, y20, …, yn (0)) Є D şərti daxilində ) hər bir y1, y2, …, yn0 ədələr sisteminə (5.2) sistemini bir
yk= φk(x0, y10, y20, …, yn0) (k=1,2,…,n)
həlli uyğun olur. Burada y10, y20, …, yn0 ədələrini uyğun olaraq c1,c2,…,cn ilə əvəz etsək, (5.2) sisteminin n dənə ixtiyari sabitdən asılı olan
y1= φ1(x, c1, c2, …, cn)
y2= φ2(x, c1, c2, …, cn)
……………………………… (6.1)
yn= φn(x, c1, c2, …, cn)

həlli alinir, buna (5.2) sisteminin ümumi həlli deyilir.Daha dəqiq desək,(5.2) sisteminin, ixtiyari c1, c2, …, cn sabitlərindən asılı olan (6.1) həllinə o zaman sistemin ümumi həlli deyilir ki, həmin həlldən c1, c2, …, cn sabitlərinə müəyyən c10, c20, …, cn0 qiymətlərini verməklə istənilən (5.6) başlanğıc şərtini ödəyən(M0(x0, y10, y20, …, yn (0)) Є D şərti daxilində) həlli almaq mümkün olsun.
Tərif: sistemin ümumi həllindən c1, c2, …, cn qiymətlərini verməklə alına həllə həmin sitemin xüsusi həlli deyilir.
Başqa sözlə, (5.2) sisteminin hər bir xüsusi həlli ümumi həllə daxildir və xüsusi həllin hər bir nöqtəsində Koşi məsələsinin yeganə həlli var.
(5.2) sisteminin (6.1)ümumi həlli məlum olduqda (5.6) başlanğıc şərtlərini ödəyən həlli tapmaq üçün
yk= φk(x0, c10, c20, …, cn0) = yk0 (k=1,2,…,n)
sistemindən c1, c2, …, cn sabitlərini tapıb (6.1) münasibətində yerinə yazmaq lazımdır.
Tərif: (5.2)sisteminin, hər bir nöqtəsində Koşi məsələsinin həllinin yeganəliyi pozulan həllinə məxsusi həll deyilir.
Misal 5.3.

y/ = x + 2 y- √z,
x
z/ = 2√z

sistemini həll etmək üçün əvvəlcə ikinci tənliyi inteqrallayıb z = (x+c1)2, x>-c1 yaza bilərik. z-in bu ifadəsini birinci tənlikdə yerinə yazsaq: y/ = x + 2 y- c1. Bu xətti tənliyin
x
inteqrallamaqla y = c1x + c2x2 tapa bilərik.Buradan sistemin ümumi həllini aşağıdakı kimi tapmaq olar:

y = c1x + c2x2,
x>-c1 (6.2)
z = (x+c1)2,

Sisteminin ikinci tənliyi z=0 məxsusi həllinə malikdir. Bunu sistemin birinci tənliyində yazdıqda
y/ = x + 2 y/x, buradan alırıq:
y = x2 (c + ln|x|) (6.3)
Beləliklə, verilmiş sistemin (6.2) ümumi həllindən başqa həm də
y = x2 (c + ln|x|), z = 0 (6.4)
məxsusi həlləri vardır. (6.4) həllinin hər bir nöqtəsində Koşi məsələsinin həllinin yeganəliyi pozulur.
(5.2) sisteminin inteqralı elə ψ (x,y1,y2,…yn) funksiyasına deyilir ki, bu funksiyanın özü və ∂ψ , ∂ψ , … , ∂ψ , xüsusi törəmələri arqumentlərinin hər hansı D dəyişmə oblastında
∂χ ∂y1 ∂yn
təyin olunub, kəsilməzdir, bu funksiyanın arqumentlərinin yerində (5.2) sisteminin ixtiyari həllini yazdıqda funksiya hər bir x Є (a,b) üçün sabit qiymət alır.
ψ (x,y1,y2,…yn) = c
bərabərliyi (5.2) sisteminin birinci inteqralı adlanır, ψ (x,y1,y2,…yn) normal sistemin inteqralı, c isə ixtiyari sabitdir.
Qeyd edək ki, adi diferensial tənliklər sistemi ümumi halda sərbəst x dəyişəni, k sayda y1(x), y2(x), …, yk(x) funksiyaları və onların törəmələri arasında əlaqəni ifadə edən k sayda tənliklərdən ibarət olur, əgər həmin sistem məchul funksiyaların yüksək tərtibli y1(p1) (x), y2(p2) (x),…, yk(pk) (x) törəmələrinə nəzərən həll edilibsə, yəni

y1(p1) (x) = f1 (x,y1, … , y1(p1-1),…, yk,…, yk(pk-1) ),
y2(p2) (x) = f2 (x,y1, … , y1(p1-1),…, yk, …, yk(pk-1)), (6.4)
………………………………………………………………
yk(pk) (x) = fk (x,y1,…, y1(p1-1), … , yk , … yk(pk – 1))

şəklindədirsə, onda belə sistemə kanonik sistem deyirlər, n = p1 + p2 + … + pk ədədi isə kanonik sistemin tərtibi adlanır. Aydındır ki, (5.2) normal sistemi (6.4) sisteminin xüsusi halıdır: p1 = p2 = … pk = 1.
y(n) = f (x, y ,y/,…y(n-1))
şəklində olan n – tərtibli diferensial tənliyi (5.2) normal sisteminə gətirmək olur. Tərsinə, (5.2) və ya (6.4) sistemi əksər hallarda n tərtibli diferensial tənliyə gətirilir, sonuncu tənliyi həll etməklə, həm də verilən tənliyin həllini tapmaq olur.

Adi diferensial tənliklər sistemi. Əsas anlayışlar.


Tutaq ki, məchul yk=yk(x) (k=1,2,…,n) funksiyaları və onların birtərtibli y/k=y/k(x) (k=1,2,…,n) törəmələrindən asılı olan
Fk(x,y1,y2,…, y/n, y/1, y/2,… y/n) = 0
(k=1,2,…,n) (5.1)
tənlikləri verilmişdir. Bu münasibətə birtərtibli diferensial tənliklərdən ibarət olan sistem deyilir.
(5.1) sisteminin tənlikləri məchul funksiyaların törəmələrinə nəzərən həll edildikdə
y/k= fk(x,y1,y2,…yn) (k=1,2,…,n) (5.2)
sistemi alınır. Bu sistemə n tərtibli normal diferensial tənliklər sistemi deyilir. Normal sistemdə tənliklərin sayı məchul funksiyaların sayına bərabər olur.
Əgər (5.2) sisteminin sağ tərəfi aşkar şəkildə x arqumentindən asılı deyilsə, yəni (5.2) sistemi
y/k= fk(x,y1,y2,…yn) (k=1,2,…,n) (5.2)
şəklində olduqda, ona avtonom və ya stasionar sistem deyilir.
(a,b) intervalında təyin olunmuş və kəsilməz diferensialların n dənə y1(x), y2(x),… yn(x) funksiyalar çoxluğu (5.2) normal sisteminin bütün tənlikləri eynilik kimi ödəyərsə, yəni (5.2) sisteminin bərabərliklərini eyniliyə çevirərsə, onda həmin funksiyalar çoxluğuna sistemin (a,b)intervalında həlli deyilir. Sistemin həllərini tapmaq məsələsi onun inteqrallanması adlanır.
x,y1,y2,…yn kəmiyyətlərinə (n+1) ölçülü fəzanı koordinatları kimi baxa bilərik. Fərz edək ki,(5.2) sisteminin sağ tərəfindəki fk(x,y1,y2,…yn) (k=1,2,…,n) funksiyaları (n+1)-ölçülü fəzanın müəyyən bir D oblastında təyin olunmuşdur. Bu halda deyirlər ki, (5.2) sistemi D oblastına verilmişdir. (5.2)sisteminin hər bir
y1=y1(x), y2=y2(x),…, yn=yn(x) (5.3)
həlli (n+1) ölçülü fəzada bir əyri müəyyən edir.Bu deməkdir ki, x arqumenti (a,b) intervalında dəyişdikdə (n+1) ölçülü fəzanın (x,y1(x), y2(x),…,yn(x)) nöqtəsi həmin fəzada bir əyri təsvir edir.Bu əyriyə sistemin inteqral əyrisi deyilir.x=x0 olduqda yk(x0)=yk0,
(k=1,2,…,n) olursa, onda inteqral əyrisi (x0,y10, y20, …, yn0) nöqtəsindən keçir.
D oblastının hər bir nöqtəsindən elə düz xətt parça keçirək ki,onun istiqamətverici kosinusları vahid və (5.2) sisteminin sağ tərəfindəki funksiyaların qiymətləri mütənasib olsun. Onda istiqamətlər meydanı alırıq.
(5.2) sisteminin hər bir inteqral əyrisinin ixtisar nöqtəsindəki toxunanın istiqaməti bu sistemin müəyyən etdiyi meydanın həmin nöqtədəki istiqaməti ilə üst-üstə düşür.Bu da normal sistemin həndəsi mənasını göstərir. Əgər (5.2) inteqral əyrisi üçün
x x0 olduqda
y1(x) y1(0), y2(x) y2(0), …, yn(x) yn(0)
münasibıti doğru olarsa, onda deyirlər ki, inteqral (x0,y1(0),…,yn(0)) nöqtəsinə yaxınlaşır.
Normal sistemin mexaniki mənasını bilmək arqumenti zaman hesab edib, onu t ilə, funksiya x1, x2,…,xn ilə, sistemin sağ tərəfini isə X1,X2,…,Xn ilə işarə edək. Onda

dx1 =X1(t,x1,x2,…,xn),
dt

dx2 =X2(t,x1,x2,…,xn),
dt
………………………………..
dxn =Xn(t,x1,x2,…,xn),
dt

normal diferensial tənliklər sistemini alırıq. Bu sistemin x1=x1(t), x2=x2(t),…,xn=xn(t) həlli n ölçülü (x1, x2,…,xn) fəzasında nöqtənin hərəkətinə uyğundur.Bu fəzaya faza fəzası,hərəkət edən nöqtənin cızdığı əyriyə isə hərəkətin trayektoriyası deyilir.
(5.4) sisteminin inteqrallanması bu sistemin müəyyən etdiyi hərəkətləri tapmaq və onun xassələrini öyrənməkdir. (x1, x2,…,xn)fəzasında nöqtənin hərəkətinə uyğundur.Bu fəzaya faza fəzası, hərəkət edən nöqtənin cızığı əyriyə isə hərəkətin trayektoriyası deyilir.
(5.4) sisteminin inteqrallanması bu sistemin müəyyən etdiyi hərəkətləri tapmaq və onun xassələrini öyrənməkdir.
(5.2) sistemi üçün Koşi məsələsini aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:
(5.2) sisteminin elə y1(x),y2(x), …, yn(x) həllini tapın ki,
y1(x0)=y1(0), y2(x0)=y2(0), …, yn(x0)=yn0 (5.6)
şərtlərini ödəsin, burada x0, y10, y20, …, yn0 – lar verilmiş ədələrdir. x0–a arqumentin başlanğıc qiyməti, y10, y20, …, yn (0) –lara məchul funksiyaların başlanğıc qiyməti, x0,y10, y20, …, yn0 – la birlikdə həllin başlanğıc verilənləri (məlumatları), (5.6) şərtin isə başlanğıc şərt deyirlər.
Koşi məsələsini həll etmək, həndəsi olaraq M0(x0, y10, y20, …, yn (0)) Є D nöqtəsindən keçən inteqral əyrisini tapmaq deməkdir.
Koşi məsələsinin mexaniki mənası isə (5.4) sisteminin t = t0 olduqda
x1=x10, x2=x20,…, xn=xn0 (5.7)
şərtlərini ödəyən həllini, yəni ((5.4) sisteminin müəyyən etdiyi elə hərəkəti tapmaq deməkdir ki, zamanın verilmiş t0 anında hərəkət edən nöqtə fəzanın (x10, x20, …, xn 0) nöqtəsində (vəziyyətində) olsun. t0 –a zamanın başlanğıc nöqtə (vəziyyət) deyilir. t0, x10, x20, …, xn 0 ədədləri birlikdə hərəkətin başlanğıc verilənləri (məlumları), (5.7) şərti isə həmin hərəkətin başlanğıc şərti adlanır.

Qüvvət sıralarının diferensial tənliklərin həllinə tətbiqi


Diferensial tənliyin həllini sonlu şəkildə elementar funksiyalarla ifadə etmək mümkün olmadıqda, tənliklərin həlli üçün təqribi üsullar tətbiq edilir. Belə təqribi üsullardan biri Teylor sırasından istifadə etməkdir.
Qüvvət sıralarının köməyi ilə diferensial tənliyin həllini iki üsulla tapmaq olar.
Tutaq ki,
y”=F(x,y,y, ) (4.1)
tənliyinin
y/x=x0 = y0, y,/ x=x0 =y, 0 (4.2)
başlanğıc şərtlərini ödəyən həllini tapmaq tələb olunur.
Ardıcıl diferensiallaşma üsulu.
Tutaq ki, (4.1) tənliyinin y=φ (x) həllini

y= φ (x) = φ(x0)+ φ(x0) =(x-x0)+ φ(x0) =(x-x0)2+ …+ φ(x0) =(x-x0)+ … (4.3)
1! n!
leylor sırası şəklində göstərmək mümkündür.Bu zaman ilk iki əmsal (4.2) başlanğıc şərtlərindən tapılır. (4.1) tənliyində x=x0, y=y0, y/=y/0 qiymətlərini yerinə yazmaqla üçüncü əmsalı tapırıq:
φ” (x0)=(y”)x=x0 = F(x0,y0,y,0).
φ m (x0), φ(4) (x0),…qiymətlərini (4.2) tənliyini x nəzərən ardıcıl diferensiallayaraq x=x0 olduqda törəmələri hesablamaq yolu ilə tapırıq.Törəmələrin (əmsalların) tapılma qiymətlərini (4.3) bərabərliyində yerinə yazarıq.
(4.3) sırası x-in bu sıranın yığılan olduğu qiymətlər üçün (4.1) tənliyinin axtarılan xüsusi həllini ifadə edir. Bu sıranın cəmi (4.1) tənliyinin təqribi həlli olacaq.
Əgər y0, və y/0 – ə ixtiyari sabitlər kimi baxsaq, göstərilən üsul (4.2) tənliyinin ümumi həllinin qurulması üçün tətbiq edilə bilər.
Qeyri müəyyən əmsallar üsulu.
Bu üsul dəyişən əmsallı xətti diferensial tənliklərin inteqrallanması üçün daha əlverişlidir.
Tutaq ki,
y”+p1(x) y/ + p2(x)y=f(x) (4.4)
tənliyinin y(x0)=y0,y/ (x0)= y/0 başlanğıc şərtləri ödəyən həllini tapmaq tələb olunur.
P1(x), P2(x) əmsallarının və f(x) sərbəst həddinin hər hansı x-x0-ın qüvvələri üzrə yığılan sıralara ayrılığını fərz edərək, axtarılan y=y(x) həllini qeyri müəyyən əmsallı
y= c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+… +cn(x-x0)n + … (4.5)
qüvvət sırası şəklində axtaracağıq.c0 cə c1 əmsalları başlanğıc şərtlərin köməyi ilə müəyyən edilir:
c0=y0, c1= y/0.
Sonrakı əmsalları tapmaq üçün (4.5) sırasını iki dəfə (tənliyin tərtibi dəfə) diferensiallayaq. Sonra isə p1(x), p2(x) və f(x)-i onların ayrılışları ilə əvəz edərək (4.4)tənliyində y funksiyasının və onun törəmələrinin ifadələrinin yerində yazırıq. Nəticədə alınan eyniliklərdən qeyri – müəyyən əmsallar üsulu ilə çatışmayan əmsalları təyin edirik. Qurulum (4.5) sırası da x-x0-ın qüvvətlərinə görə yığılır və (4.4) tənliyinin həlli olur.